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実数の連続性と同値な定理はたくさんありますが,高校生にとって最も連続っぽいなあ,と思える定理は中間値の定理ではないでしょうか.ということで,中間値の定理を仮定して,実数の性質の基本的な話を展開していこうと思います.中間値 … Read more

二項定理を用いずに多項定理を証明する

多項定理は二項定理を用いて,変数の個数についての帰納法で証明するのが多いようです.しかし,ここではあえて文字数は固定して,べきについての帰納法で証明します(同時に二項定理も証明したことになります).ちなみに組合せの理論は ... Read more

中間値の定理を仮定して実数の連続性を示す

中間値の定理を仮定して,実数の連続性の一つであるデデキントの定理を証明します. 𝐑を実数全体の集合とする. 定理 1 (中間値の定理). 空でない閉区間I=[a,b]上の関数f⁢(x)がI上で連続であるとする.f⁢(a) ... Read more

選択公理を使わない最大値最小値の定理の証明(補足)

選択公理を使わない最大値最小値の定理の証明で,斎藤正彦先生の『数学の基礎』では,選択公理を用いずに最大値の定理を証明していることに触れました.その証明を参考に,僭越ながら少しアレンジしてみました. 定理 1 (最大値の定 ... Read more

ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理の証明で学ぶ現代数学における無限の取り扱い

有界な数列は収束する部分列をもつというボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理(以下BW定理)の証明を最初知ったときは本当にこんなことが可能なのか,という疑問が拭えず酷く消化不良をきたしたのを覚えています.主に無限の扱いに ... Read more