パスカルの三角形でみる二変数冪和対称式

大学入試でわりと使う
$$\begin{align}
a^2 + b^2 &= (a+b)^2 -2a b\\
a^3 + b^3 &= (a+b)^3 -3a b(a+b)
\end{align}$$
を一般化した
$$
a^n+b^n = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor}(-1)^k\frac{n}{n-k}\binom{n-k}{k}(a+b)^{n-2k}(ab)^{k}
$$
という公式を前の記事で証明しました.この公式を適用すると,例えば \(n=2\) のときは
$$\begin{align}
a^2+b^2 = \sum_{k=0}^{1}(-1)^k\frac{2}{2-k}\binom{2-k}{k}(a+b)^{2-2k}(ab)^{k}
\end{align}$$
となります. \(k=0\) の項は
$$
(-1)^0\frac{2}{2}\binom{2}{0}(a+b)^2(ab)^0 = (a+b)^2
$$
\(k=1\) の項は
$$
(-1)^1\frac{2}{1}\binom{1}{1}(a+b)^0(a b)^1 = -2a b
$$
という具合です.面倒ですが \(n=4\) の場合を見てます.
$$
a^4+b^4 = \sum_{k=0}^{2}(-1)^k\frac{4}{4-k}\binom{4-k}{k}(a+b)^{4-2k}(ab)^{k}
$$
ですから,\(k=0\) の項は
$$
(-1)^0\frac{4}{4}\binom{4}{0}(a+b)^4(ab)^0 = (a+b)^4
$$
\(k=1\) の項は
$$
(-1)^1\frac{4}{3}\binom{3}{1}(a+b)^2(ab)^1 = -4ab(a+b)^2
$$
\(k=2\) の項は
$$
(-1)^2\frac{4}{2}\binom{2}{2}(a+b)^0(ab)^2=2(ab)^2
$$
ですから
$$
a^4+b^4 = (a+b)^4 -4ab(a+b)^2+2(ab)^2
$$
となるわけです.しかし,実際やってみると分かりますが,
$$\frac{n}{n-k}\binom{n-k}{k}$$
の計算は意外とややこしくて面倒です.そこで,この係数をパスカルの三角形から見出してみましょう.それには \(a^n+b^n\) の公式の導出の過程で現れた
$$
\frac{n}{n-k}\binom{n-k}{k} = \binom{n-k}{k} + \binom{n-k-1}{k-1}\quad(k\geqq1)
$$
が重要です.下のようなパスカルの三角形において,\(\binom{n-k}{k}\) の左上が \(\binom{n-k-1}{k-1}\) に相当します.

\(\binom{0}{0}\)
\(\binom{1}{0}\) \(\binom{1}{1}\)
\(\binom{2}{0}\) \(\binom{2}{1}\) \(\binom{2}{2}\)
\(\binom{3}{0}\) \(\binom{3}{1}\) \(\binom{3}{2}\) \(\binom{3}{3}\)
\(\binom{4}{0}\) \(\binom{4}{1}\) \(\binom{4}{2}\) \(\binom{4}{3}\) \(\binom{4}{4}\)
\(\binom{5}{0}\) \(\binom{5}{1}\) \(\binom{5}{2}\) \(\binom{5}{3}\) \(\binom{5}{4}\) \(\binom{5}{5}\)
\(\binom{6}{0}\) \(\binom{6}{1}\) \(\binom{6}{2}\) \(\binom{6}{3}\) \(\binom{6}{4}\) \(\binom{6}{5}\) \(\binom{6}{6}\)
\(\binom{7}{0}\) \(\binom{7}{1}\) \(\binom{7}{2}\) \(\binom{7}{3}\) \(\binom{7}{4}\) \(\binom{7}{5}\) \(\binom{7}{6}\) \(\binom{7}{7}\)
\(\binom{8}{0}\) \(\binom{8}{1}\) \(\binom{8}{2}\) \(\binom{8}{3}\) \(\binom{8}{4}\) \(\binom{8}{5}\) \(\binom{8}{6}\) \(\binom{8}{7}\) \(\binom{8}{8}\)
\(\binom{9}{0}\) \(\binom{9}{1}\) \(\binom{9}{2}\) \(\binom{9}{3}\) \(\binom{9}{4}\) \(\binom{9}{5}\) \(\binom{9}{4}\) \(\binom{9}{3}\) \(\binom{9}{2}\) \(\binom{9}{1}\)

例えば \(n=7, k=3\) のとき \(\binom{4}{3}\) の左上が \(\binom{3}{2}\) になっているわけです.このように係数を隣同士の二項係数の和に直して公式を書き直すと
$$
a^n+b^n = \binom{n}{0}(a+b)^n + \sum_{k=1}^{\lfloor n/2 \rfloor}(-1)^k\left(\binom{n-k}{k}+\binom{n-k-1}{k-1}\right)(a+b)^{n-2k}(ab)^{k}
$$
となります(\(k=0\) の場合は左上がいないので分けます).複雑ですがこの表記で \(n=4\) の場合を書き出してみると
$$\begin{align}
a^4+b^4
&= \binom{4}{0}(a+b)^4\\
&- \left(\binom{3}{1}+\binom{2}{0}\right)(a+b)^2(ab)\\
&+ \left(\binom{2}{2}+\binom{1}{1}\right)(ab)^2
\end{align}$$
となり,そして,各係数がパスカルの三角形のどこに対応しているかを見てましょう.

\(\binom{0}{0}\)
\(\binom{1}{0}\) \(\binom{1}{1}\)
\(\binom{2}{0}\) \(\binom{2}{1}\) \(\binom{2}{2}\)
\(\binom{3}{0}\) \(\binom{3}{1}\) \(\binom{3}{2}\) \(\binom{3}{3}\)
\(\binom{4}{0}\) \(\binom{4}{1}\) \(\binom{4}{2}\) \(\binom{4}{3}\) \(\binom{4}{4}\)
\(\binom{5}{0}\) \(\binom{5}{1}\) \(\binom{5}{2}\) \(\binom{5}{3}\) \(\binom{5}{4}\) \(\binom{5}{5}\)
\(\binom{6}{0}\) \(\binom{6}{1}\) \(\binom{6}{2}\) \(\binom{6}{3}\) \(\binom{6}{4}\) \(\binom{6}{5}\) \(\binom{6}{6}\)
\(\binom{7}{0}\) \(\binom{7}{1}\) \(\binom{7}{2}\) \(\binom{7}{3}\) \(\binom{7}{4}\) \(\binom{7}{5}\) \(\binom{7}{6}\) \(\binom{7}{7}\)
\(\binom{8}{0}\) \(\binom{8}{1}\) \(\binom{8}{2}\) \(\binom{8}{3}\) \(\binom{8}{4}\) \(\binom{8}{5}\) \(\binom{8}{6}\) \(\binom{8}{7}\) \(\binom{8}{8}\)
\(\binom{9}{0}\) \(\binom{9}{1}\) \(\binom{9}{2}\) \(\binom{9}{3}\) \(\binom{9}{4}\) \(\binom{9}{5}\) \(\binom{9}{4}\) \(\binom{9}{3}\) \(\binom{9}{2}\) \(\binom{9}{1}\)

\(n=4\) なので, \(\binom{4}{0}\) のセルから見てゆき,右上に移動しながら,左上のセルも拾っていくイメージです.二項係数を数で書き直すと,下記のようになります.

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84  126  126 84 36 9 1

ビジュアルで
$$\begin{align}&1\\ &1+3=4\\&1+1=2\end{align}$$
がすぐに分かり,符号を交互に \(+,\ -\) にしてゆけば
$$
a^4+b^4 = (a+b)^4 – 4ab(a+b)^2 + 2(ab)^2
$$
を得ます.

この見方で \(a^5+b^5\) を求めてみます.\(n=5\) だから \(\binom{5}{0}\) のセルから拾っていきます.

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84  126  126 84 36 9 1

これで \(1,\ 5,\ 5\) が見えるので
$$a^5+b^5 = (a+b)^5 – 5ab(a+b)^3 + 5(ab)^2(a+b)$$となります.文字の部分は \((a+b)^n\) からスタートして,\((a+b)\) の指数を \(2\)ずつ減らし,それに伴って \((a b)\) の字数を \(1\) ずつ上げていきます(全体の次数を \(n\) にキープさせることになります).

念のために \(a^6+b^6\) もやってみます.

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84  126  126 84 36 9 1

\(1,\ 6, \ 9,\ 2\) が見えるので
$$
a^6+b^6=(a+b)^6 – 6a b(a+b)^4 + 9(a b)^2(a+b)^2 -2(a b)^3
$$
となります.パスカルの三角形恐るべしです.

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