選択公理を使わない最大値最小値の定理の証明

閉区間 \(I\) 上の連続関数 \(f(x)\) には必ず最大値が存在することの証明で,まず,値域 \(f(I)\) が上に有界であることを背理法で証明するのが最初のステップになっている本が多いと思います.で,上に有界でないと仮定すると,任意の自然数 \(n\) に対して
$$
n < f(x_n) \in f(I) $$ を満たす \(x_n\in I\) が存在するから $$ x_1, x_2, \ldots,x_n,\ldots $$ という有界な数列がとれて,そこから収束する部分列をとる,みたいな流れが一般的です.しかし,これは $$ A_n:=\{x\in I\mid n < f(x)\} $$ で定義される集合が空でないことに着目して,そこから任意に \(x_n\) をとってくるという議論をしているので,選択公理を用いています. しかし,斎藤正彦先生の『数学の基礎 集合・数・位相』は,選択公理や背理法も用いずに簡潔に証明がなされてます.

\(I\) の \(n\) 等分点のうち,関数値のもっとも大きいもののひとつ(たとえば一番左)を \(x_n\) とする.

この \(x_n\) の定義であれば,いずれも有限集合からの選択しか行っていないので選択公理を使わずにすみます.その後は \((x_n)\) は有界だから収束する部分列をとり,その極限値を \(c\) とするとき,\(f(c)\) が最大値であることの証明に移ります.

有名な定理の証明は,どの本も似たような証明が多いのですが,斎藤正彦先生はやはり凄いと思いました.

追記

『数学の基礎』の証明を僭越ながらアレンジしてみました

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