選択公理を使わない最大値最小値の定理の証明(補足)

選択公理を使わない最大値最小値の定理の証明で,斎藤正彦先生の『数学の基礎』では,選択公理を用いずに最大値の定理を証明していることに触れました.その証明を参考に,僭越ながら少しアレンジしてみました.

定理 1 (最大値の定理).

閉区間I=[a,b]上の連続関数f(x)は最大値をもつ.

任意にxIをとる.n𝐍に対してIn等分点をa=a0<a1<<an=bとするとき,|a0-x|,|a1-x|,,|an-x|の中で最小のものに対応するaixnf(a0),f(a1),,f(an)の中で最大のものに対応するaicnとする(ちなみにaiの候補が複数ある場合は,より小さい方をとれば選択公理なしで(xn),(cn)は写像として成立する).この定義より,任意のn𝐍に対して|xn-x|b-an  (1)f(xn)f(cn)  (2)が成り立つ(n等分に区切られている区間の長さは(b-a)/nであることに注意せよ).(1)よりlimnxn=xが成り立つ.また,(cn)は有界だから収束する部分列(ci(n))がとれ,その極限をcIとする.収束する数列の部分列は同一の値に収束するからlimnxi(n)=xとなることに注意する.(2)よりf(xi(n))f(ci(n))がいえ,nとすれば,fの連続性よりf(x)f(c)が成り立つ.xIの任意の元で,cxに依存しないので,f(c)f(x)の最大値である.

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