n等分点を利用した中間値の定理の証明

閉区間をn等分する手法にハマってきたので,中間値の定理の証明もやってみました.特に参考にしたものがないので,もしかしたら間違ってるかもしれませんが悪しからず.


定理 (中間値の定理).

閉区間I=[a,b]上の連続関数f(x)が,f(a)>0,f(b)<0を満たすとき,f(c)=0となるcIが存在する.

n𝐍に対してIn等分をa=a0<a1<<an=bとする.ここでai+1=ai+b-an(0in-1)が成り立つことに注意する.さてf(a0)f(a1)>0f(a1)f(a2)>0f(an-1)f(an)>0を仮定すると,f(a0)=f(a)>0であるから,逐次f(a1)>0,f(a2)>0,,f(an)>0がいえ,f(an)=f(b)<0であることに矛盾する.よってf(ai)f(ai+1)0f(ai)f(ai+(b-a)/n)0となるaiが存在する.そのようなaiで最小のものをcnとすると,f(cn)f(cn+(b-a)/n)0と書ける.(cn)は有界だから収束する部分列(ci(n))がとれ,f(ci(n)f(ci(n)+(b-a)/i(n))0が成り立つ.(ci(n))の極限値をcとするとき,fは連続だからnのときf(c)f(c+0)0f(c)20が成り立つからf(c)=0

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