中間値の定理を仮定して実数の連続性を示す

中間値の定理を仮定して,実数の連続性の一つであるデデキントの定理を証明します.


𝐑を実数全体の集合とする.

定理 1 (中間値の定理).

空でない閉区間I=[a,b]上の関数f(x)I上で連続であるとする.f(a),f(b)が異符号のとき,f(c)=0を満たすcIが存在する.

定義 1 (切断の定義).

𝐑の空でない部分集合A,Bが次を満たすとき,(A,B)デデキント切断または単に切断という.

  1. (i)

    AB=𝐑AB=

  2. (ii)

    aAbBa<b

定理 2.

切断(A,B)に対して,maxAminBが両方存在することはない.

maxA,minBの存在を仮定する.切断の定義より,maxA<minBである.c=(maxA+minB)/2とすると,maxA<c<minBよりcA,cBがいえるので切断の定義に反する.

補題 1.

切断(A,B)に対して,aAとする.このとき,xaならばxAである.

AB=𝐑AB=より,xAの否定はxB.よって示すべきことの対偶は「xBならば x>a」なので,aAより,これは切断の定義より成り立つ.

補題 2.

切断(A,B)に対して,maxAが存在しないと仮定すると,任意のaAに対してあるδ>0が存在してa+δAが成り立つ.

maxAが存在することを論理式で表すとMAxAxMであるから,これを否定するとMAxAx>Mとなる.文字を適当に置き換えて書き換えるとaAaAa<aとなる.δ=a-aとすれば,δ>0であり, a+δ=aAが成り立つ.

定理 3 (デデキントの定理).

切断(A,B)に対して,maxAminBのどちらかだけが存在する.

maxA,minBが両方存在することはないので,maxAminBも存在しないとして矛盾を導けばよい.関数f:𝐑𝐑f(x)={-1(xA)1(xB)で定義する.aAをとると,定義よりf(a)=-1である.ここで任意にε>0をとる.補題 2より,あるδ>0が存在して a+δAとなり,補題 1より xa+δならばxAが成り立つので,f(x)=-1である.よって,a-δ<x<a+δならば|f(x)-f(a)|=|-1-(-1)|=0<ε.よって,任意のaAに対し,f(x)x=a連続である.同様に,任意のaBに対して,f(x)x=bで連続である.したがって,a0A,b0Bを適当にとるとき,f(x)は閉区間[a0,b0]上連続で,f(a0)=-1f(b0)=1だから,中間値の定理よりf(c)=0,a0<c<b0を満たすcが存在する.これは,f(x)の取りうる値が±1だけであることに矛盾する.


切断(A,B)に対して,どちらかに端っこがないと,どうみても𝐑上不連続にみえるf(x)も連続関数になってしまうという点を突いた証明です.

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