∞即是空 第3話 形式的すぎない拡大実数の定義*

「さっきは淡白で形式的すぎる拡大実数 𝐑¯ の定義をした.𝐑={𝐑}=-± に対称性もない微妙な定義であることも認める.そこで,もう少し順序関係も自然に入るそれらしい 𝐑¯ の定義をしよう.まず,実数体 𝐑 は,𝐐 をコーシー完備化するなり順序完備化するなどして既に出来上がっているとする.このとき

  1. 1)

    AB=𝐑,AB=

  2. 2)

    aA かつ bB ならば a<b

  3. 3)

    A は最大元をもたない.

を満足する 𝐑 の部分集合の組 (A,B) 全体の集合を 𝐑¯ と表す」

「デデキントの切断,ですか?」

「いや,よく見ろ.ある性質を欠いている」

「あ,A,B が空でないという条件が必要でしたっけ」

「それをあえて抜いておいて,(,𝐑)(𝐑,) をそれぞれ - にしようという目論見だ」

「なるほどー.それなら包含関係がそのまま順序関係になりますね」

「飲み込みが速い弟子で助かるよ.(A,B),(A,B)𝐑¯ に対して,AA となるときに (A,B)(A,B) と定義すれば,𝐑¯ は全順序集合になる.また,(,𝐑)(𝐑,) は上の三項目を満たすから,𝐑¯ の元であり,任意の (A,B)𝐑¯ に対して A𝐑 すなわち (,𝐑)(A,B)(𝐑,) であるから,min𝐑¯=(,𝐑)max𝐑¯=(𝐑,) が成り立つ.これらをそれぞれ -, とすればよい.また,(A,B)𝐑¯ かつ A,B が共に空でないとき,デデキントの定理より B は最小元 a をもち,明らかに A={x𝐑x<a},B={x𝐑xa} が成り立つ.逆に実数 a に対して ({x𝐑x<a},{x𝐑xa})𝐑¯-{±} の元だから,𝐑¯-{±} の元と 𝐑 の元が一対一に対応する.そこで,(A,B)𝐑¯-{±}B の最小元 a と同一視すると 𝐑¯=𝐑{±} と表せる.こうすると,例えば,任意の a,b𝐑¯ に対して [a,b]={x𝐑¯axb}(a,b)={x𝐑¯a<x<b} とすれば,同時に (-,b)(a,) も定義したことになるし,𝐑¯=[-,]𝐑=(-,) といった記法も自然に認められる」

「無限を使役できましたね!」

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