中間値の定理を仮定して実数の連続性を示す

中間値の定理を仮定して,実数の連続性の一つであるデデキントの定理を証明します. 𝐑を実数全体の集合とする. 定理 1 (中間値の定理). 空でない閉区間I=[a,b]上の関数f⁢(x)がI上で連続であるとする.f⁢(a) ... Read more

選択公理を使わない最大値最小値の定理の証明(補足)

選択公理を使わない最大値最小値の定理の証明で,斎藤正彦先生の『数学の基礎』では,選択公理を用いずに最大値の定理を証明していることに触れました.その証明を参考に,僭越ながら少しアレンジしてみました. 定理 1 (最大値の定 ... Read more

ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理の証明で学ぶ現代数学における無限の取り扱い

有界な数列は収束する部分列をもつというボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理(以下BW定理)の証明を最初知ったときは本当にこんなことが可能なのか,という疑問が拭えず酷く消化不良をきたしたのを覚えています.主に無限の扱いに ... Read more