選択公理を使わない最大値最小値の定理の証明（補足）

任意に$x\in I$をとる．$n\in 𝐍$に対して$I$の$n$等分点を$$\begin{array}{cc}\hfill a=a_0<a_1<\mathrm{\cdots }<a_n=b& \end{array}$$とするとき，$$\begin{array}{cc}\hfill |a_0-x|,|a_1-x|,\mathrm{\dots },|a_n-x|& \end{array}$$の中で最小のものに対応する$a_i$を$x_n$，$$\begin{array}{cc}\hfill f(a_0),f(a_1),\mathrm{\dots },f(a_n)& \end{array}$$の中で最大のものに対応する$a_i$を$c_n$とする（ちなみに$a_i$の候補が複数ある場合は，より小さい方をとれば選択公理なしで$(x_n),(c_n)$は写像として成立する）．この定義より，任意の$n\in 𝐍$に対して$$\begin{array}{ccc}\hfill |x_n-x|& \leqq {\displaystyle \frac{b-a}{n}}\mathit{\hspace{1em}\hspace{1em}}(1)\hfill & \\ \hfill f(x_n)& \leqq f(c_n)\mathit{\hspace{1em}\hspace{1em}}(2)\hfill & \end{array}$$が成り立つ（$n$等分に区切られている区間の長さは$(b-a)/n$であることに注意せよ）．(1)より$$\begin{array}{cc}\hfill \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=x& \end{array}$$が成り立つ．また，$(c_n)$は有界だから収束する部分列$(c_{i(n)})$がとれ，その極限を$c\in I$とする．収束する数列の部分列は同一の値に収束するから$$\begin{array}{cc}\hfill \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{i(n)}=x& \end{array}$$となることに注意する．(2)より$$\begin{array}{cc}\hfill f(x_{i(n)})\leqq f(c_{i(n)})& \end{array}$$がいえ，$n\to \mathrm{\infty }$とすれば，$f$の連続性より$$\begin{array}{cc}\hfill f(x)\leqq f(c)& \end{array}$$が成り立つ．$x$は$I$の任意の元で，$c$は$x$に依存しないので，$f(c)$が$f(x)$の最大値である．