中間値の定理を仮定して実数の連続性を示す

中間値の定理を仮定して，実数の連続性の一つであるデデキントの定理を証明します．

$\mathbf{R}$ を実数全体の集合とする．

定理 1 (中間値の定理).

空でない閉区間 $I=[a,b]$ 上の関数 $f(x)$ が $I$ 上で連続であるとする． $f(a),f(b)$ が異符号のとき， $f(c)=0$ を満たす $c\in I$ が存在する．

定義 1 (切断の定義).

$\mathbf{R}$ の空でない部分集合 $A, B$ が次を満たすとき， $(A,B)$ をデデキント切断または単に切断という．

(i)
$A\cup B=\mathbf{R}$ ， $A\cap B=\emptyset$ ．
(ii)
$\forall a\in A\quad\forall b\in B\quad a<b$ ．

定理 2.

切断 $(A,B)$ に対して， $\max A$ と $\min B$ が両方存在することはない．

$\max A,\min B$ の存在を仮定する．切断の定義より， $\max A<\min B$ である． $c=(\max A+\min B)/2$ とすると， $\max A<c<\min B$ より $c\notin A,c\notin B$ がいえるので切断の定義に反する．

補題 1.

切断 $(A,B)$ に対して， $a\in A$ とする．このとき， $x\leqq a$ ならば $x\in A$ である．

$A\cup B=\mathbf{R}$ ， $A\cap B=\emptyset$ より， $x\in A$ の否定は $x\in B$ ．よって示すべきことの対偶は「 $x\in B$ ならば $x>a$ 」なので， $a\in A$ より，これは切断の定義より成り立つ．

補題 2.

切断 $(A,B)$ に対して， $\max A$ が存在しないと仮定すると，任意の $a\in A$ に対してある $\delta>0$ が存在して $a+\delta\in A$ が成り立つ．

$\max A$ が存在することを論理式で表すと $\begin{matrix} \exists M \in A \forall x \in A x ≦ M \end{matrix}$ であるから，これを否定すると $\begin{matrix} \forall M \in A \exists x \in A x > M \end{matrix}$ となる．文字を適当に置き換えて書き換えると $\begin{matrix} \forall a \in A \exists a^{'} \in A a < a^{'} \end{matrix}$ となる． $\delta=a^{\prime}-a$ とすれば， $\delta>0$ であり， $a+\delta=a^{\prime}\in A$ が成り立つ．

定理 3 (デデキントの定理).

切断 $(A,B)$ に対して， $\max A$ と $\min B$ のどちらかだけが存在する．

$\max A,\min B$ が両方存在することはないので， $\max A$ も $\min B$ も存在しないとして矛盾を導けばよい．関数 $f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ を $\begin{matrix} f (x) = {\begin{matrix} - 1 & (x \in A) \\ 1 & (x \in B) \end{matrix} \end{matrix}$ で定義する． $a\in A$ をとると，定義より $f(a)=-1$ である．ここで任意に $\varepsilon>0$ をとる．補題 2より，ある $\delta>0$ が存在して $a+\delta\in A$ となり，補題 1より $x\leqq a+\delta$ ならば $x\in A$ が成り立つので， $f(x)=-1$ である．よって， $a-\delta<x<a+\delta$ ならば $|f(x)-f(a)|=|-1-(-1)|=0<\varepsilon$ ．よって，任意の $a\in A$ に対し， $f(x)$ は $x=a$ 連続である．同様に，任意の $a\in B$ に対して， $f(x)$ は $x=b$ で連続である．したがって， $a_{0}\in A,\ b_{0}\in B$ を適当にとるとき， $f(x)$ は閉区間 $[a_{0},b_{0}]$ 上連続で， $f(a_{0})=-1$ ， $f(b_{0})=1$ だから，中間値の定理より $f(c)=0,a_{0}<c<b_{0}$ を満たす $c$ が存在する．これは， $f(x)$ の取りうる値が $\pm 1$ だけであることに矛盾する．

切断 $(A,B)$ に対して，どちらかに端っこがないと，どうみても $\mathbf{R}$ 上不連続にみえる $f(x)$ も連続関数になってしまうという点を突いた証明です．