不定積分の置換積分の妙
厳密性にこだわるとわけわからなくなる話．微積はわかったつもりになるくらいがいい． 置換積分の典型例題を見てみよう 高校で置換積分を学ぶと $$I=\ds \int x\sqrt{x-1}\,dx$$ という $\sqrt … Read more
数学
二項定理を用いずに多項定理を証明する
多項定理は二項定理を用いて，変数の個数についての帰納法で証明するのが多いようです．しかし，ここではあえて文字数は固定して，べきについての帰納法で証明します（同時に二項定理も証明したことになります）．ちなみに組合せの理論は ... Read more
中間値の定理を仮定して実数の連続性を示す
中間値の定理を仮定して，実数の連続性の一つであるデデキントの定理を証明します． 𝐑を実数全体の集合とする． 定理 1 (中間値の定理). 空でない閉区間I=[a,b]上の関数f(x)がI上で連続であるとする．f(a) ... Read more
n等分点を利用した中間値の定理の証明
閉区間をn等分する手法にハマってきたので，中間値の定理の証明もやってみました．特に参考にしたものがないので，もしかしたら間違ってるかもしれませんが悪しからず． 定理 (中間値の定理). 閉区間I=[a,b]上の連続関数f ... Read more
選択公理を使わない最大値最小値の定理の証明（補足）
選択公理を使わない最大値最小値の定理の証明で，斎藤正彦先生の『数学の基礎』では，選択公理を用いずに最大値の定理を証明していることに触れました．その証明を参考に，僭越ながら少しアレンジしてみました． 定理 1 (最大値の定 ... Read more
背理法を用いない素因数分解の一意性の証明
自然数に0を含める．𝐍を自然数全体の集合，𝐙を整数全体の集合とする． 定義 1. 整数a,bに対してa=bcとなる整数cが存在するとき，aをbの倍数とよび，bをaの約数とよぶ．a,bに共通する倍数のことをa,bの公倍数 ... Read more
ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理の証明で学ぶ現代数学における無限の取り扱い
有界な数列は収束する部分列をもつというボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理（以下BW定理）の証明を最初知ったときは本当にこんなことが可能なのか，という疑問が拭えず酷く消化不良をきたしたのを覚えています．主に無限の扱いに ... Read more
収束することの否定に要注意
高校数学で無限級数の発散条件を勉強します．無限級数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$ が収束するとき，部分和 $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^{n} … Read more
公約数は最大公約数の約数の証明について
整数 $a, b$ の任意の公約数 $d$ は， $a, b$ の最大公約数 $g$ の約数である． よくある証明は $$ a x + b y = g $$ となる $x, y$ が存在するから， $d$ が $a, b … Read more
選択公理を使わない最大値最小値の定理の証明
閉区間 $I$ 上の連続関数 $f(x)$ には必ず最大値が存在することの証明で，まず，値域 $f(I)$ が上に有界であることを背理法で証明するのが最初のステップになっている本が多いと思います．で，上に有界でないと仮定 … Read more